Consommation d'essence

On s'intéresse à la consommation d'essence d'un véhicule en fonction de sa vitesse.

Lecture graphique

Le graphique ci-dessous représente la consommation d'essence en litres pour \(100\) km en fonction de la vitesse en \(\text{km} \cdot \text{h}^{-1}\) du véhicule.

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes.
1. Quelle est la consommation du véhicule lorsque celui-ci roule à \(40~\text{km} \cdot \text{h}^{-1}\) ?
2. Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il \(8\) litres pour \(100\) km ?
3. Pour quelle vitesse la consommation du véhicule semble-t-elle minimale ?

Modélisation

Si on note \(x\) la vitesse du véhicule en \(\text{km} \cdot \text{h}^{-1}\), avec \(30 \leqslant x \leqslant 130\), la consommation d'essence en litres pour \(100\) km est modélisée par la fonction \(f\) d'expression :

\(f(x) = \dfrac{20x^2 - 1\ 600x + 40\ 000}{x^2}\).
On désigne par \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([30~;130]\).

4. Montrer que, pour tout \(x \in [30~;130]\) : \(f'(x) = \dfrac{1\,600\left (x - 50\right )}{x^3}\).
5. Démontrer la conjecture émise à la question 3.